martes, 4 de junio de 2013

Matemática Difusa

Autor:
PhD. Guillermo Choque Aspiazu
http://www.eldiario.net/
Publicado en:
Diciembre 15 de 2008

El año 1950 el gran filósofo galés Bertrand Russell recibió el Premio Nobel de Literatura. Pero, sin duda, sus aportaciones más importantes e imperecederas son las encuadradas dentro de la filosofía y de la lógica matemática. A principios de siglo Russell se interesó por la vieja paradoja griega del cretense que afirmaba que todos los cretenses mienten. En tal caso, ¿miente el cretense?. Si miente al hacer la afirmación, entonces no está diciendo la verdad, es decir, no miente. Pero si no miente, está diciendo la verdad, es decir, miente. La contradicción del cretense es evidente: su enunciado, simultáneamente, resulta ser cierto y falso. Pero, aunque lo parezca, este ejemplo no es una simple paradoja. Sus derivaciones actuales marcan multitud de procesos industriales, informáticos o económicos. En realidad esta paradoja se relaciona con el mismo corazón de la teoría de conjuntos y de la lógica moderna. El mismo Russell encontró otra paradoja semejante en la teoría matemática de los conjuntos: “El conjunto de todos los conjuntos es, a su vez, otro conjunto, por lo que sería miembro de sí mismo.”


En centro de este problema es la contradicción existente entre la lógica clásica y la lógica difusa. El origen de sus diferencias radica en lo que Aristóteles expuso como ley del tercio excluso. Lo usual en la teoría de conjuntos es que un objeto cualquiera pertenezca a un conjunto o bien no pertenezca a él, sin términos medios posibles. Así, una persona que tiene empleo pertenece al conjunto de los empleados y no pertenece al conjunto de los no empleados. O el número 8 forma parte del conjunto de los números pares, pero en absoluto del de los números impares. Un objeto no puede pertenecer simultáneamente a un conjunto y a su complementario. El funcionamiento de las computadoras está fundamentado en este tipo de lógica. El “razonamiento” de una computadora consiste en tratar con situaciones concretas y precisas que se corresponden a la disyuntiva dicotómica verdadero/falso, a través de un lenguaje binario consistente en series de unos y ceros. Pero al cerebro humano no le basta esta lógica tradicional, sino que utiliza expresiones más inciertas e indeterminadas que incluyen juicios de valor.

La inteligencia artificial pretende construir sistemas capaces de realizar las mismas funciones que caracterizan al pensamiento humano mientras que, por su parte, los sistema expertos son aplicaciones informáticas que adoptan decisiones o resuelven problemas de índole variada utilizando los conocimientos y las reglas analíticas definidas por los expertos en esos campos. Un nexo bastante utilizado entre la inteligencia artificial y los sistemas expertos es la lógica difusa. Mediante la lógica difusa la inteligencia artificial se aplica a las computadoras a fin de transformar el blanco/negro de la lógica clásica hasta los tonos de grises que caracteriza la percepción humana de un mundo que es incierto. La lógica clásica no tenía contestación para la paradoja del cretense, sin embargo para la lógica borrosa sí la hay: el cretense es un 50% veraz y un 50% mentiroso. Algo puede ser simultáneamente una porción de verdadero y la porción complementaria de falso.

Muchos de los científicos que trabajan con la teoría de la incertidumbre afirman de manera contundente que “el mundo es un lugar difuso”. Si se combina el término difuso con “lógica” se consigue una contradicción de ideas. Desgraciadamente, la palabra inglesa “fuzzy” presenta connotaciones bastante negativas. Significa incierto, impreciso, pensamiento errado. Cuando las personas piensan en lógica, es el último en precisión, roca sólida, indiscutible. Ser lógico es quizá el cumplido más alto que se puede otorgar a un científico. Cuando se habla de “lógica”, normalmente se hace referencia a la lógica de Aristóteles descubierta en el año 300 antes de Cristo. La lógica Aristotélica es la base del pensamiento occidental, habiendo sido estudiada y explorada por miles de científicos y filósofos desde sus comienzos. Esta lógica se encuentra fundamentada con base en una idea sencilla, simple pero comprendida por todos: Una proposición es solamente verdadera o falsa. Es una lógica binaria que permite solo dos valores, sin existir una posición o posiciones intermedias entre estos dos extremos absolutos.

La mayoría de los fenómenos que se encuentran a diario son imprecisos, es decir, contienen de manera implícita un cierto grado de incertidumbre en la descripción de su naturaleza. Esta imprecisión puede estar asociada con su forma, posición, momento, color, textura o incluso en la semántica que describe lo que realmente son. En muchos casos el mismo concepto puede tener diferentes grados de imprecisión en diferentes contextos o tiempos. Un día cálido en invierno no es exactamente lo mismo que un día cálido en primavera. La definición exacta de cuando la temperatura va de templada a caliente es imprecisa, no es posible identificar un punto simple de templado, tal que emigrando un simple grado la temperatura del ambiente sea considerada caliente. Este tipo de imprecisión asociado continuamente a los fenómenos, es bastante común en bastantes campos de estudio: informática, ingeniería, sociología, física, biología, psicología, oceanografía, etc.

Se acepta la imprecisión como una consecuencia natural de “la forma de las cosas en el mundo”. La dicotomía entre el rigor y la precisión del modelado matemático en muchos de los campos de la ciencia además de la intrínseca incertidumbre del “mundo real” no es generalmente aceptada por los científicos, filósofos y analistas de negocios. Es posible simplemente una aproximación a estos eventos a través de funciones numéricas y la selección de un resultado, en lugar de hacer un análisis del conocimiento empírico. Sin embargo las personas se encargan de procesar y entender de manera sencilla e implícita la imprecisión de la información, a tal punto que son capaces de formular planes, tomar decisiones y reconocer conceptos compatibles con altos niveles de vaguedad y ambigüedad.

La lógica difusa se encuentra relacionada y fundamentada en la teoría de los “conjuntos difusos”. Según esta teoría, el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto viene determinado por una función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el intervalo [0, 1]. No hay nada impreciso acerca de la lógica difusa, es matemática, natural y simple, fundada en el concepto “todo es cuestión de grados”, lo cual permite manejar información vaga o de difícil especificación, si se quisiera hacer cambiar con esta información el funcionamiento o el estado de un sistema específico. Por consiguiente, es posible con la lógica difusa, gobernar un sistema por medio de reglas de “sentido común” las cuales se refieren a cantidades indefinidas.

Las reglas involucradas en un sistema difuso, puede ser aprendidas con sistemas adaptativos que aprenden al “observar” como operan las personas los dispositivos reales, o estas reglas pueden también ser formuladas por un experto humano, en general la lógica difusa se aplica tanto a sistemas de control como para modelar cualquier sistema continuo de informática, ingeniería, física, biología o economía entre otros. La lógica difusa es entonces definida como un sistema matemático que modela funciones no lineales, que convierte unas entradas en salidas de acuerdo con los planteamientos lógicos que utilizan el razonamiento aproximado. Por consiguientes, la lógica difusa se adapta mejor al mundo real en el que conviven varias personas, e incluso puede comprender y funcionar las expresiones cotidianas del tipo: “hace mucho calor”, “no es muy alto”, “el ritmo del corazón está un poco acelerado”, etc. La clave de esta adaptación al lenguaje, se basa en comprender los cuantificadores o restricciones elásticas del lenguaje. En la teoría de conjuntos difusos se definen también las operaciones de unión, intersección, diferencia, negación o complemento, y otras operaciones sobre conjuntos en los que se basa esta lógica. Para cada conjunto difuso, existe asociada una función de pertenencia para sus elementos, que indican en qué medida el elemento forma parte de ese conjunto difuso.

La matemática difusa tiene una base sólida, que radica en la lógica difusa, y se destaca por la importancia de su aplicación en las diversas disciplinas, de forma tal que permita el cambio de paradigma de algunas teorías subyacentes en la toma de decisiones. Esta toma de decisiones se realiza en tres situaciones: la de certeza, donde reina la matemática convencional; la de riesgo, donde se aplica el cálculo de probabilidades; y por último, la de incertidumbre, en la cual se intenta demostrar la aplicabilidad de la matemática difusa para efectuar un tratamiento de la incertidumbre.

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