F.A.Q. Matemáticas: Inecuación con Valor Absoluto

Resolvamos la siguiente inecuación en valor absoluto:

| 2x - 1 |\;\;+\;\;5\;\;\ge\;\;0

Solución.

0. Previamente sumemos (-5) a la inecuación.

| 2x - 1 |\;\;\ge\;\;-5

1. Recordemos que

| a | \ge b \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\infty\lt a \le -b\\ \;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b\le a \lt +\infty \end{array}

Aplicando a la inecuación obtenida en el paso 0, tenemos

| 2x - 1 | \ge -5 \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\infty\lt 2x - 1 \le -(-5)\\ \;(-5)\le 2x - 1 \lt +\infty \end{array}

2. Trabajemos en la primera inecuación, no consideramos la parte de la izquierda

2x - 1 \le -(-5) \rightarrow 2x - 1 \le 5

Despejamos x, sumemos (+1) a la inecuación

2x\;\le\;6

ahora, dividimos entre (2) la inecuación

x\;\le\;3

3. Ahora trabajemos en la segunda ecuación, sin considerar la parte derecha

(-5) \le 2x - 1 \rightarrow -5 \le 2x - 1

Hagamos un cambio en la inecuación, para comodidad "le damos la vuelta"

2x - 1 \ge -5

le sumamos (+1) a la inecuación

2x \ge -4

ahora dividimos entre (2) a la inecuación

x \ge -2

Calculados los 2 conjuntos solución $$ x\;\le\;3 $$ y $$x \ge -2$$ los graficamos en la recta real, y notaremos que el conjunto solución resultante es el dominio de los números reales. Dejamos la tarea de graficar y verificar como ejercicio.

A continuación consideremos los siguientes tips:

1. Cuando en una inecuación de este tipo con un elemento (simple o compuesto) en valor absoluto y una constante positiva en la parte izquierda, hará siempre de la inecuación verdadera no importe el resultado de las operaciones realizados adentro del valor absoluto.

2. Siempre es necesario observar el sentido del signo de desigualdad y de que lado está la constante para deducir si el valor de la inecuación siempre será verdadero o no.

Este post va dedicado a  RACOSTAR1
Gracias por tu consulta, posiblemente haga un video de éste problema, pero por el momento espero que este post te eche luz sobre tu consulta.