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Haber superado las MIL ENTRADAS en este Blog no es algo que sucede todos los días y para celebrarlo hemos preparado un concurso realmente interesante para que participes y puedas ganar algo especial para esta Navidad, cortesía de EL APRENDIZ INFORMÁTICO.

01. Vídeos interesantes en Youtube: La primera clase de Algebra Lineal.

Gilbert Strang (27 de noviembre de 1934) es un matemático estadounidense actualmente Profesor de Matemáticas del Department of Mathematics del prestigioso Massachusetts Institute of Technology (MIT). Cursó estudios en el propio MIT y en el Balliol College, Oxford. Se doctoró en la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA) y desde ese momento ha llevado a cabo su actividad docente en el MIT. También ha sido un Sloan Fellow. Entre las publicaciones más notables del Professor Strang hay que destacar "An Analysis of the Finite Element Method", conjuntamente con George Fix,así como seis manuales:

• Introduction to Linear Algebra (1993, 1998, 2003)
• Linear Algebra and Its Applications (1976, 1980, 1988, 2005)
• Introduction to Applied Mathematics (1986)
• Calculus (1991)
• Wavelets and Filter Banks, con Truong Nguyen (1996)
• Linear Algebra, Geodesy, and GPS, con Kai Borre (1997).

(Referencia: Gilbert Strang).

Primera reseña que hace mención a la primera clase del Profesor Gilbert Strang, de álgebra lineal. Por el momento la única clase subtitulada en español.

83. Álgebra: Método de Igualación (Nuevo Apartado).

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

(1) Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
(2) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una variable que resulta.
(3) Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la variable que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método. (Referencia: Métodos analíticos de resolución. Igualación ).

Nuevo apartado del más reciente módulo denominado Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2 del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. En este nuevo apartado trataremos sobre el método de igualación para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Primero veremos el fundamento teórico de este método para luego concluir con un ejemplo que nos aclare el procedimiento de resolución a través del método en cuestión.

ACTUALIZACIÓN: Se han añadido dos ejercicios nuevos a este apartado.

81. Álgebra: Método Gráfico (Nuevo Apartado)

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta).

Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución.

Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado. (Referencia: Método gráfico de resolución de sistemas).

Nuevo apartado del más reciente módulo denominado Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2 del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Este apartado trata sobre la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 a través de método gráfico, veremos su parte teórica y luego su aplicación práctica.

80. Álgebra: Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2 (Nuevo Módulo)

Los sistemas de ecuaciones lineales son sistemas de agrupación de 2 ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Este es el caso mas sencillo posible de los sistemas de ecuaciones.

Se le llama "Solucion 2x2" a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema. (Referencia: Métodos de Solución de Ecuaciones Lineales de 2x2).

Nuevo módulo denominado Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2 del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Comenzamos este nuevo módulo explicando qué son los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2.

79. Álgebra: Rectas perpendiculares (nuevo apartado).

Dos rectas en el plano son perpendiculares si entre ellas forman un Ángulo recto (en rigor, se formen cuatro ángulos rectos). En un sistema de coordenadas, el producto de las pendientes de ambas rectas es -1. Definiendo, dos rectas son perpéndiculares si: (1) cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º; (2) sus vectores directores son perpendiculares; (3) dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta. (Referencia: Rectas Perpendiculares).

Rectas paralelas son dos rectas que no tienen ningún punto en común, o son coincidentes. Dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto. De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto. (Referencia: Rectas Paralelas).

Clase extra del módulo denominado Ecuaciones de Recta del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Se ha agregado un nuevo apartado denominado Rectas perpediculares, donde se aplica el concepto teórico de recta perpendicular a través de dos ejercicios.

78. Álgebra: Rectas paralelas (nuevo apartado).

En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son parelelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. (Referencia: Wikipedia - Paralelismo (matemática)).

Rectas paralelas son dos rectas que no tienen ningún punto en común, o son coincidentes. Dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto. De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto. (Referencia: Rectas Paralelas).

Clase extra del módulo denominado Ecuaciones de Recta del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Se ha agregado un nuevo apartado denominado Rectas paralelas, donde se aplica el concepto teórico de recta paralela a través de dos ejercicios.

77. Álgebra: Rectas paralelas y perpendiculares (nuevo apartado).

Una Recta es una sucesión infinita de puntos, situados todos en una misma dirección, en tanto, esa sucesión se caracteriza por ser continúa e indefinida, por tanto, una recta no tiene ni principio ni fin; junto al plano y al punto, la recta es uno de los entes geométricos fundamentales. Y paralela es un adjetivo que se emplea para referirse a aquello semejante, correspondiente o que ha sido desarrollado en un mismo tiempo. (Referencia: Definicion de rectas paralelas y perpendiculares).

Clase extra del módulo denominado Ecuaciones de Recta del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Se ha agregado un nuevo apartado denominado Rectas paralelas y perpendiculares, donde se explica el aspecto teórico de este tipo de rectas para luego realizar algunos ejemplos que lo ilustren.

76. Álgebra: Formas de hallar la ecuación de una recta (2 nuevos ejercicios).

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. (Referencia: Wikipedia - Recta).

Clase extra del módulo denominado Ecuaciones de Recta del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Específicamente se han agregado dos ejercicios más al apartado de Formas de hallar la ecuación de una recta.

75. Álgebra: Funciones de uso frecuente (3ª Parte).

Al momento de considerar función algebraica, lo que hacemos es referirnos a una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente. (Referencia: Wikipedia - Función algebraica).

Para saber más acerca de la funciones algebraicas, hagan clic AQUÍ.

Novena clase del módulo denominado Relación y Función y última del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Terminando con una serie de tres clases donde trataremos sobre las funciones que se conocen y utilizan con más frecuencia, en esta tercera (y última) clase veremos: la función exponencial, la función logarítmica y la función parte entera.

EL CURSO MÁS COMPLETO DE ALGEBRA: "Bienvenido al mundo de la X y la Y"

¿Qué es el Álgebra?

Álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la artimética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

74. Álgebra: Funciones de uso frecuente (2ª Parte).

Cuando hablamos de una función algebraica, nos estamos refiriendo a una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente. (Referencia: Wikipedia - Función algebraica).

Para saber más acerca de la funciones algebraicas, hagan clic AQUÍ.

Octava clase del módulo denominado Relación y Función y penúltima del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Continuando con una serie de tres clases donde trataremos sobre las funciones que se conocen y utilizan con más frecuencia, en la segunda clase veremos: la función raíz cuadrada, la función raíz cúbica y la función racional simple.

73. Álgebra: Funciones de uso frecuente (1ª Parte).

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente. (Referencia: Wikipedia - Función algebraica).

Séptima clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Hoy comenzamos una serie de tres clases donde trataremos sobre las funciones que se conocen y utilizan con más frecuencia, en esta primera clase veremos: la función lineal y constante, la función valor absoluto, la función cuadrática y la función cúbica.

72. Álgebra: Ejercicios para Determinar el Rango de una Función.

El rango, sólo se produce en el ámbito del dominio de la función o la función de los valores de X, por lo que a fin de determinar el rango de una función, se necesita primero saber determinar el dominio de la función.. (Referencia: Cómo encontrar el rango de una función matemática).

Sexta clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. En esta ocasión realizaremos ejercicios para hallar el rango de una función. Poco a poco nos vamos acercando al final de módulo y del curso.

71. Álgebra: Ejercicios para Determinar el Dominio de una Función.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). (Referencia: Funciones Matemáticas. Conceptos Básicos).

Quinta clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Poco a poco nos vamos acercando al final de módulo y del curso, para esta ocasión realizaremos ejercicios para determinar el dominio de una función.

70. Álgebra: Dominio y Rango de una Función.

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función. (Referencia: Dominio y Rango de una Función).

Cuarta clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Para la clase de hoy aprenderemos todo sobre el dominio y el rango de las funciones.

69. Álgebra: Notación y Evaluación de Funciones.

Evaluar una función en un punto concreto x₀ consiste en sustituir x₀ en la fórmula de la función y realizar las operaciones indicadas en la fórmula en el orden adecuado, respetando la jerarquía de las operaciones.

Con mucha diferencia, es la mejor forma de expresar una función. Con ella, podemos fácilmente construir cualquier tabla de valores de f(x) sin más que evaluar repetidamente la función en los puntos de x que aparezcan en la tabla. También, usando el cálculo diferencial, podemos obtener la gráfica precisa de la función a partir de la fórmula. Además, viendo la fórmula, podemos deducir el tipo de dependencia entre ambas variables. (Referencia: Formas de expresar una función).

Tercera clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Continuando con el último módulo del curso en esta ocasión aprenderemos a cómo realizar la notación y evaluación de una función.

68. Álgebra: Relaciones y Funciones en los Reales - Criterio de la recta vertical.

En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla, la relación que existe entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función, por lo general, requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenidas en ellas.

Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación. (Referencia: Gráfica de una función).

Segunda clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Seguimos aprendiendo aspectos conceptuales de este módulo, en esta ocasión veremos las relaciones y funciones en los Reales, enfocándonos en el Criterio de la recta vertical.

67. Álgebra: Conceptos de Producto Cartesiano, Relación y Función.

En teoría de conjuntos y en álgebra abstracta, el producto cartesiano de dos conjuntos es una relación de orden que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto. (Referencia: Wikipedia - Producto cartesiano).

Primera clase del módulo denominado Relación y Función del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. Comenzamos el último módulo del curso, aprendiendo los conceptos iniciales tales como qué es el producto cartesiano, qué es una relación y qué es una función.

66. Álgebra: Formas de hallar la ecuación de una recta.

Cuando de hallar la ecuación de una determinada recta se trata, hemos de observar que deben presentarse previamente algunos datos que nos ayuden a determinar qué ecuación genérica elegir para lograr el resultado buscado: la ecuación general de tal recta. A continuación las mencionamos:

(1) Cuando conocemos dos valores a y b con a distinto de cero. Esto significa que echaremos mano de la ECUACIÓN CANÓNICA.
(2) Si tenemos el valor de la pendiente y un punto ubicado precisamente en el eje Y, es decir, el valor b. Esto implica utilizar la ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN.
(3) Un punto en el plano cartesiano y la pendiente. Hacen referencia a la ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE.
(4) Dos puntos en el plano cartesiano. Hacen referencia al uso de la ECUACIÓN PUNTO-PUNTO o CARTESIANA. (Referencia: Propia).

Quinta y última clase del módulo denominado Ecuaciones de Recta del Curso de Álgebra con la Academia Vásquez. En la clase preparada para hoy aprenderemos las formas de hallar la ecuación de una recta. Como siempre, veremos primero el fundamento teórico del tema, para luego realizar la práctica con los ejercicios.